MÉCANIQUE ANALYTIQUE

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

La mécanique analytique représente une approche de la mécanique rationnelle qui s’est développée, à partir des travaux de Maupertuis (1744), dans un certain isolement par rapport aux autres branches de la mécanique et de la physique. Le point de départ en est le «principe de moindre action », qui permet de déterminer le mouvement d’un point matériel dans un champ de forces. Si on considère le mouvement le long d’un arc de trajectoire AB et que l’on évalue l’intégrale curviligne:

(action de Maupertuis), on peut montrer que cette quantité est minimale par rapport à tous les mouvements voisins passant par A et B aux mêmes instants et possédant la même énergie que le mouvement réel. Réciproquement, cette condition d’action minimale permet de déterminer univoquement le mouvement. Elle est donc équivalente à la loi de Newton:

qui détermine le mouvement localement et de proche en proche. Ce principe diffère très profondément de celui de Newton. Il oblige à considérer le mouvement globalement, comme un tout, et à le comparer à une infinité de mouvements virtuels parmi lesquels il est privilégié. Il a conduit à une reconstruction de la mécanique sous une forme très abstraite qui supprime l’image des points matériels tirés par des forces, et qui suggère finalement la considération d’un «espace des mouvements» où sont représentés l’ensemble des mouvements possibles, chaque mouvement étant un point de cet espace. Sous cette forme la mécanique analytique se trouve particulièrement apte à traiter les théories qui considèrent, non un seul mouvement réel, mais une collection de mouvements possibles, c’est-à-dire la mécanique statistique et la mécanique quantique.

1. Formalisme lagrangien

Principe des travaux virtuels

On s’intéresse ici à l’étude d’un système dynamique classique, c’est-à-dire d’un assemblage de k points matériels qui peuvent être soumis à des liaisons (exemples: certains points peuvent être astreints à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée; deux points peuvent être liés de sorte que leur distance reste constante; etc.).

On numérote les points par un indice j , avec j = 1, 2, ..., k , et l’on désigne par る^j la position géométrique du point numéro j , par m ^j sa masse, par づ^j la résultante des forces que l’on exerce sur lui. Les mécanismes assurant les liaisons peuvent exercer par ailleurs une force supplémentaire み^j , appelée «force de liaison» ou force «de contact» (exemple: si un point matériel est lié par un fil inextensible à un point fixe, la liaison lui impose de rester sur une sphère; la force de liaison est mesurée par la tension du fil). Le mouvement du système est alors déterminé par la loi de Newton:

où j = 1, 2, ..., k ; on note par un point la dérivation par rapport au temps; . る^j est le vecteur vitesse du point numéro j , .. る^j son accélération .

Imaginons, pour chaque point る^j , un «déplacement virtuel» infinitésimal 嗀 る^j , compatible avec les liaisons telles qu’elles existent à l’instant t (exemple: si る^j est astreint à se déplacer sur une sphère, 嗀 る^j est un vecteur quelconque tangent à la sphère); il résulte évidemment des équations (1) que l’on a:

(les crochets 麗, 礪 désignent le produit scalaire ordinaire).

Réciproquement, le système (1) est vérifié si l’égalité (2) est valable quels que soient les déplacements virtuels 嗀 る^j compatibles avec les liaisons : tel est le résultat découvert par d’Alembert (Traité de dynamique , 1743), que l’on appelle principe des travaux virtuels (parce que le terme écrit à droite de (2) est le travail des forces dans le «déplacement virtuel» défini par les 嗀 る^j ).

Dans le cas où les liaisons sont parfaites (exemples: glissements sans frottement; liaisons des points à l’intérieur d’un solide), les forces de liaison ne travaillent pas, ce qui s’exprime par la condition:

On peut alors remplacer l’équation (2) par:

ce qui permet d’étudier le mouvement du système sans se préoccuper des forces de liaison.

Équations de Lagrange

Dans de nombreux cas, on peut utiliser les équations définissant les liaisons pour exprimer la position de chaque point au moyen d’un nombre réduit de paramètres; de façon précise on dit que le système est holonôme si l’on peut choisir des paramètres indépendants q ¹, q ², ..., q ⁿ tels que l’on sache exprimer la position る^j de chaque point en fonction de q ¹, ..., q ⁿ , et éventuellement du temps t (exemple: la position d’un point mobile sur une sphère s’exprime en fonction de deux paramètres, sa latitude et sa longitude). Il suffira alors de connaître l’évolution des paramètres q ^k en fonction du temps pour connaître le mouvement complet du système. Cela revient à étudier le mouvement d’un point dans un espace à n dimensions appelé espace de configuration .

Il est facile d’utiliser les paramètres q ^k pour calculer le travail virtuel des forces appliquées: un simple calcul de dérivation permet de trouver les nombres 﨏^k (parfois appelés forces généralisées ) tels que:

On peut aussi calculer, au moyen des q ^k , de leurs dérivées .q ^k , et éventuellement de t , l’énergie cinétique T du système, définie par:

Si l’on considère les 2 n + 1 variables q ^k , .q ^k et t comme indépendantes , on peut alors calculer les dérivées partielles:

Lagrange a établi l’identité:

En remarquant que le déplacement virtuel 嗀 る^j est donné par:

l’identité de Lagrange (7) montre que le premier membre de (4) s’écrit:

En remplaçant le second membre du principe des travaux virtuels (4) par son expression (5), et en notant que les nombres 嗀q ^k sont quelconques, puisque les paramètres ont été supposés indépendants, on arrive aux équations:

où k est égal à 1, 2, ..., n .

Telles sont les équations de Lagrange (Mécanique analytique , 1788) qui permettent d’étudier le mouvement d’un système en utilisant des paramètres arbitraires.

Formulation variationnelle et principe de Hamilton

Supposons maintenant, non seulement que les liaisons sont holonômes et parfaites, mais que les forces appliquées dérivent d’un potentiel u ; par définition, u est une fonction de la position des points (et éventuellement de t ) qui donne par dérivation le travail virtuel des forces, changé de signe:

En remarquant que:

on voit que les forces généralisées 﨏^k [cf. (5)] sont données par:

Si l’on porte cette expression dans les équations de Lagrange (10), on est amené à introduire la quantité:

En effet, on constate que:

Comme par ailleurs le potentiel u ne dépend pas des vitesses, les dérivées:

sont nulles, ce qui donne:

Les équations de Lagrange s’écrivent alors sous la forme:

Il existe un rapport étroit entre cette forme des équations de Lagrange et un principe très général qui semble réaliser «un accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu’ici paru incompatibles» (Maupertuis).

Il s’agit d’un principe variationnel qui se rattache au principe philosophique «du meilleur» (Leibniz), au principe optique de Fermat, au principe mécanique de moindre action proposé par Maupertuis, et dont Lagrange avait déjà perçu toute l’importance. Hamilton en donna un énoncé précis en 1834.

Désignons par Q la matrice-colonne ayant pour éléments les paramètres q ¹, ..., q ⁿ . Q est une variable à n composantes qui parcourt l’espace de configuration du système.

Notons par ailleurs que la grandeur L = T 漣 u est une fonction de q ¹, ..., q ⁿ , q. ¹, ..., q. ⁿ et t , ce qui peut s’écrire:

(Cette fonction L s’appelle fonction lagrangienne , ou lagrangien .)

Choisissons deux instants arbitraires t ¹ et t ² et considérons l’intégrale:

(Cette intégrale s’appelle action hamiltonienne .)

Désignons respectivement par 煉L/ 煉Q, 煉L/ 煉Q. les matrices-lignes formées par les dérivées partielles de L par rapport aux q ^k et aux q. ^k ; en dérivant (16) sous le signe 咽, on obtient la formule:

où les 憐 désignent des multiplications matricielles. En remarquant que:

une intégration par parties donne:

On voit apparaître sous le signe 咽 la ligne:

ligne dont tous les éléments sont nuls en raison des équations de Lagrange (14); d’où l’énoncé:

La «variation» 嗀 遼 de l’intégrale d’action (16) est nulle dans toute «variation» 嗀Q du mouvement telle que 嗀Q = 0 pour t = t ¹ et t = t ².

Réciproquement, on constate que ce principe de Hamilton est équivalent aux équations de Lagrange, donc qu’il suffit à caractériser le mouvement (dans l’intervalle de temps arbitraire t ¹, t ²).

Si on connaît un groupe G d’invariance du lagrangien, opérant sur l’espace de configuration, à chaque transformation infinitésimale 嗀^j de G va correspondre une constante du mouvement. En effet, on peut reprendre l’expression (18) de 嗀^j 遼^AB pour la transformation 嗀^j : ici, puisqu’on est sur une ligne de mouvement, l’intégrale sera automatiquement nulle. Par contre, en posant p ^k = (face=F0019 煉L)/(face=F0019 煉 face="EU Updot" 廊 ^k ), la parti tout intégrée fournira:

puisque 嗀^j invarie le lagrangien. La quantité:

associée à la transformation 嗀^j , est donc une constante du mouvement. Ainsi l’invariance par translation entraîne la conservation de l’impulsion. L’invariance par rotation entraîne la conservation du moment cinétique.

2. Formalisme canonique

Formalisme hamiltonien

Récapitulons les calculs qui interviennent lorsqu’on applique les équations de Lagrange à un système répondant aux conditions précédentes.

– On considère les variables q ^k , .q ^k et t comme indépendantes, et on écrit la fonction lagrangienne :

– On calcule les dérivées partielles:

où p ^k est le moment canoniquement conjugué de q ^k .

– On résout les équations différentielles :

(On reconnaît les équations de Lagrange (14) et la définition initiale des variables .q ^k .)

Si on développe le système (22), on constate qu’il se compose de n équations dans lesquelles les variables .q ^k interviennent linéairement, et que le déterminant des coefficients n’est pas nul (cela résulte du fait que l’énergie cinétique est une forme quadratique définie positive); on peut donc résoudre ces équations par rapport aux .q ^k ; ce que nous noterons:

Introduisons maintenant une nouvelle grandeur, le hamiltonien du système, qui est par définition la quantité:

En remplaçant dans cette relation Q. par son expression (24), on exprime évidemment H en fonction de P, Q et t :

La fonction ainsi définie s’appelle fonction hamiltonienne.

Donnons une variation arbitraire 嗀 aux variables P et Q; la dérivation de (25) donne évidemment:

soit, en se souvenant que:

En comparant avec les résultats de la dérivation directe de (26), on trouve donc les identités :

En utilisant ces identités, les équations du mouvement (23) se transforment immédiatement en:

Telles sont les équations de Hamilton (1834), appelées aussi équations canoniques ; elles montrent qu’il suffit de connaître la fonction hamiltonienne pour déterminer les équations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les «variables canoniques» p ^k et q ^k sont les coordonnées d’un point qui se meut dans un espace à 2 n dimensions, appelé espace de phase .

Formalisme symplectique

Désignons par Y une condition initiale quelconque du système: pour déterminer Y, il faut se donner une date t , ainsi que la position et la vitesse de tous les points du système à cette date.

Nous avons remarqué que l’on connaît ces positions et ces vitesses si l’on connaît les valeurs des variables q ^k et .q ^k à cet instant t ; par conséquent, une condition initiale Y est repérée par les 2 n + 1 variables q ^k , .q ^k et t (ou, si l’on préfère, par les 2 n + 1 variables p ^k , q ^k , t ). On peut donc représenter Y comme un point d’un espace V à 2 n + 1 dimensions, l’espace d’évolution (cf. figure).

Lorsque le système évolue spontanément, le point Y décrit une courbe tracée dans V, courbe qui définit le mouvement du système; il résulte de la théorie des systèmes différentiels qu’une condition initiale caractérise le mouvement, c’est-à-dire que ces courbes sont disposées dans V de façon qu’il en passe une et une seule par chaque point Y de V.

On peut donc définir un mouvement par les 2 n valeurs des coordonnées canoniques à une date t ⁰ arbitrairement choisie; en d’autres termes, chaque mouvement x peut être considéré comme un point d’un espace U à 2 n dimensions, l’espace des mouvements. Par exemple, le mouvement d’une planète (n = 3) se repère par 6 nombres (les éléments de l’orbite).

Un mouvement déterminé sera donc considéré:

a ) comme une ligne (trajectoire) décrite par le point Q dans l’espace de configuration à n dimensions (le temps jouant le rôle de paramètre);

b ) comme une ligne décrite par le point (Q, P) dans l’espace des phases à 2 n dimensions (le temps jouant le rôle de paramètre);

c ) comme une ligne atemporelle dans l’espace d’évolution à 2 n + 1 dimensions;

d ) comme un point atemporel dans l’espace des mouvements à 2 n dimensions.

Considérons deux variations quelconques du mouvement, dx , 嗀x ; on peut leur associer une grandeur appelée crochet de Lagrange (Mécanique analytique , 1788), que nous noterons 靖(dx , 嗀x ).

On peut la définir par la formule:

Cette expression est donnée ici au moyen des variations des conditions initiales; comme elle ne dépend en fait que des variations des mouvements , on dit qu’elle constitue un invariant intégral ; en particulier, si l’on écrit qu’elle est nulle quels que soient 嗀p ^k , 嗀q ^k , 嗀t , on retrouve les équations canoniques (28).

Il est immédiat de vérifier que 靖 est bilinéaire et antisymétrique: 靖 est donc un tenseur antisymétrique du second ordre (en abrégé 2-forme ); le tenseur ainsi défini en chaque point x de U confère à l’espace des mouvements une structure géométrique (appelée structure symplectique ); les transformations ponctuelles de U qui conservent 靖 sont nommées transformations canoniques ; les champs de vecteurs qui engendrent des transformations canoniques s’appellent transformations canoniques infinitésimales.

On appelle variable dynamique toute fonction scalaire u définie sur U; on peut lui associer une transformation canonique infinitésimale, que nous noterons 嗀^u x , grâce à la formule:

pour toute variation 嗀.

Réciproquement, si on connaît la transformation canonique infinitésimale 嗀, on peut lui associer une variable dynamique:

Le fait que u ne dépend que du mouvement (grandeur conservative ) constitue le théorème de Noether généralisé.

En particulier, à la translation dans le temps correspond la variable dynamique énergie , égale au hamiltonien H, ce qu’on écrit:

À l’invariance par translation dans le temps, correspond ainsi la conservation de l’énergie .

Dans le cas de transformations canoniques infinitésimales qui n’invarient pas le lagrangien, on peut cependant utiliser le théorème de Noether en calculant u par la formule (31); ainsi, dans le cas d’un système libre dans l’espace, les variables dynamiques liées aux transformations de Galilée (addition d’une vitesse constante aux points du système) expriment le mouvement rectiligne uniforme du centre de gravité (principe de l’inertie).

À tout couple de variables dynamiques u , v on peut associer une nouvelle variable dynamique, notée [u , v] qui a été découverte par Lagrange:

C’est Poisson (1809) qui en a donné l’expression au moyen de variables canoniques choisies à un instant arbitraire:

c’est pourquoi [u , v] s’appelle crochet de Poisson de u et v.

On peut utiliser les crochets de Poisson pour reconnaître si une fonction u des variables dynamiques et du temps est conservative; dans ce cas, en effet, la formule (32) donne:

soit, compte tenu de (33):

Un calcul direct, utilisant (29) et (34), montre que cette égalité est caractéristique des grandeurs conservatives.

3. Applications

Mécanique relativiste

Les résultats précédents peuvent s’étendre à d’autres problèmes ayant une structure analogue (principes variationnels portant sur des intégrales simples). Traitons le cas de la mécanique relativiste.

En relativité restreinte , on remplace l’intégrale d’action (16) par l’expression:

c étant la vitesse de la lumière (cas d’une particule libre de masse m ) ou, en prenant le temps t comme paramètre:

Les équations de Lagrange montrent que le mouvement est encore rectiligne uniforme (avec une vitesse v inférieure à c ); le théorème de Noether s’applique encore; dans le cas des translations de temps, il permet de définir l’énergie relativiste E; elle est encore égale au hamiltonien; en partant du nouveau lagrangien 漣 mc ² 連1 漣 る²./c ², la formule (25) donne:

d’où la formule d’Einstein qui donne l’énergie au repos E⁰ = mc ².

Le même traitement appliqué aux translations d’espace donne l’impulsion relativiste:

En relativité générale, on utilise des systèmes de quatre coordonnées quelconques x ¹, x ², x ³, x ⁴; l’action s’écrit:

les g size=1^猪益 pouvant s’interpréter comme les composantes d’un tenseur (tenseur métrique).

On peut écrire les équations de Lagrange; elles se mettent sous la forme:

s étant un certain paramètre (temps propre), les nombre 臨 size=1^凞猪益 (appelés symboles de Christoffel ) étant donnés par:

Quand les coordonnées sont reliées à un laboratoire en chute libre (satellite en orbite), les 臨 size=1^凞猪益 sont tous nuls; la formule (41) montre que le mouvement apparaît comme rectiligne uniforme (état d’impesanteur); par contre, dans un laboratoire quelconque (terrestre par exemple) le mouvement semble accéléré: il apparaît un champ de gravitation , mesuré par les 臨 size=1^凞猪益. La formule (42) montre que les 臨 size=1^凞猪益 s’expriment au moyen des dérivées des g size=1^猪益: c’est pourquoi les nombres g size=1^猪益 s’appellent potentiels de gravitation .

Mécanique statistique

L’objet de la mécanique statistique est l’étude des mouvements aléatoires d’un système mécanique conservatif (exemple: un gaz, considéré comme un système de molécules enfermées dans un récipient).

La probabilité, à un instant t , pour que les coordonnées canoniques p^k , q^k soient dans une certaine région E de l’espace des phases peut s’écrire:

福 étant une certaine fonction positive.

En utilisant les équations canoniques (28), on peut démontrer que le «volume» de E,

est une constante , bien que la région E se déforme, au cours du temps, souvent de façon très compliquée (c’est le théorème de Liouville ). Comme la probabilité P est constante dans le temps, il en résulte que 福 est une grandeur conservative ; elle vérifie donc l’équation (35):

appelée équation de Liouville ou de Boltzmann ; elle signifie en fait que 福 est directement définie sur l’espace des mouvements, ainsi d’ailleurs que l’élément de volume (intemporel):

On voit donc qu’un état statistique est une loi de probabilité sur l’espace des mouvements , la probabilité élémentaire étant égale à 福d 諸.

On constate, dans le cas d’un équilibre statistique, que la densité de probabilité est de la forme:

où et 猪 sont deux constantes. Cette équation porte le nom d’équation de Gibbs. L’interprétation détaillée de cet état montre que:

T étant la température absolue, k la constante de Boltzmann; 猪 (appelé potentiel thermodynamique de Planck) se calcule en écrivant que l’intégrale 咽 福d 諸, étendue à l’espace des mouvements, prend la valeur 1. Signalons que l’intégrale:

est, par définition, l’entropie du système.

Mécanique quantique

Dès les origines (Bohr, 1918), il est apparu que le formalisme canonique était la clef de la formulation de la mécanique quantique. On adopte généralement la formulation de Dirac (1926) qui associe linéairement à chaque variable dynamique u un opérateur que nous noterons u .

Les opérateurs u , appelés observables , sont des opérateurs linéaires autoadjoints sur un même espace de Hilbert 流, appelé espace des états .

Dirac postule la formule suivante, appelée relation de commutation :

戀

寮 désignant le quotient par 2 神 de la constante de Planck; comme ci-dessus, [u , v] désigne le crochet de Poisson de u et v. Il faut postuler, de plus, qu’à la variable dynamique 1 correspond l’opérateur identique sur 流.

Si l’on choisit une date t , les valeurs correspondantes des coordonnées canoniques p^k , q^k sont des variables dynamiques auxquelles sont associés des opérateurs p^k , q^k ; les relations de commutation de ces opérateurs se déduisent simplement de (34); on trouve ainsi les formules de Pauli et Heisenberg:

Ces relations sont réalisées si l’on définit ces opérateurs par les formules de Schrödinger:

祥 étant une fonction complexe des q^j , appelée fonction d’onde .

Bien entendu, si l’on change le choix de la date t , il faut modifier la fonction d’onde; cette modification s’obtient en résolvant l’équation de Schrödinger:

Encyclopédie Universelle. 2012.